VIII тиждень карантину - 10 клас, алгебра

VIII тиждень карантину

Алгебра, 10 клас

Тема: Дослідження функції на монотонність та екстремуми. Розв’язування прикладів

Сьогодні на уроці ми повторимо теоретичний матеріал з даної теми і будемо розв’язувати приклади на дослідження функції

Як завжди, розминка

1) Виконайте нескладний тест, який дозволить вам зрозуміти, чи засвоїли ви теоретичну частину теми - тест тут.

2) Ви повинні добре аналізувати графік похідної, і робити певні висновки стосовно графіка самої функції.

Перед вами графік похідної. 

Спочатку запитайте себе: скільки критичних точок ви бачите?

Правильна відповідь: чотири. 

Чому саме чотири? Критичні точки – це точки, в яких похідна дорівнює нулю. Критичні точки – це точки перетину графіка похідної з віссю Ох: -4; -1; 2; 8.

Наступне запитання: чи будуть ці критичні точки екстремальними? Так, бо при переході через кожну з них похідна змінює свій знак.

 Візьмемо першу критичну точку -4.  Графіки «читаємо» зліва направо. Бачимо, що при переході через першу критичну точку похідна змінює знак з – на  + . Отже, перед нами точка мінімуму.

 Аналізуємо тепер другу критичну точку х = -1. Бачимо по графіку, що при переході через цю точку похідна змінює знак з + ( графік розташовано над віссю Ох) на – ( графік сховався під вісь Ох). Отже, х = -1 – точка максимуму.

Міркуючи аналогічно, з’ясовуємо, що х = 2 – точка мінімуму, а х = 8 – точка максимуму.

Проведемо тепер дослідження на монотонність, тобто за графіком похідної з’ясуємо, де

функція зростає і де спадає.

Як відомо, функція зростає там, де похідна додатна. Дивимось на графік і бачимо, що похідна додатна, тобто, графік  розташований над віссю Ох на проміжку ( -4; -1) і на проміжку ( 2; 8 ), значить, саме на кожному з цих  проміжків  функція зростає.

Похідна від’ємна на проміжках 

Бачимо, що графік розташовано під віссю Ох, отже, на кожному з  цих проміжків функція спадає.

3) Виконайте більш складний тест, який дозволить вам реально оцінити рівень  теоретичних знань і практичних вмінь - тест.

4) Розглянемо приклад: дослідити функцію:

на монотонність та екстремуми. Спочатку ви розв’язуєте  завдання самостійно, а потім дивитеся правильне розв’язання

 Хочу ще раз звернути вашу увагу на той факт, що D(f(x)) – це область визначення  функції. В нашому випадку функція представлена многочленом, отже, обмежень для х немає, тому  замість змінної х можна підставляти будь- яке число, тобто, 

Далі пригадуємо, що після того, як взято похідну, треба прирівняти цю похідну до нуля, тобто, знайти критичні точки. Критичні точки – це точки, які «підозрюються в екстремізмі». Будь – яка екстремальна точка є  критичною, але не кожна критична стає екстремальною. Для того, щоб критична точка стала екстремальною( точкою максимуму або мінімуму), треба, щоб при переході через цю точку похідна змінювала свій знак.

Третім пунктом розв’язання ви повинні накреслити координатну пряму, відмітити на ній критичні точки 0 і 2.

Скільки ви бачите інтервалів? Три. З’ясуємо тепер знак похідної на кожному з цих інтервалів. Не  так  вже  це і складно. Що  для цього треба  зробити? З кожного із цих інтервалів взяти по одному числу і підставити у похідну замість х. Скільки буде чисел? Стільки, скільки інтервалів, тобто три. Почнемо з крайнього правого інтервалу, тобто, від 2 і до нескінченості. Візьмемо, наприклад, число 3, і підставимо замість х  в похідну. Маємо:

Тепер беремо число із другого інтервалу ( 0; 2). Зручно взяти 1. Підставимо у похідну замість х число 1. Маємо:

Тепер візьмемо число із останнього інтервалу

Краще взяти х = -1. Маємо:

Ви пам’ятаєте, що функція спадає там, де похідна від’ємна, тобто, на проміжку ( 0; 2). Там, де похідна додатна, функція зростає. Наша похідна додатна на двох проміжках, а саме:  

При переході через кожну із критичних точок, похідна змінює свій знак, значить, і 0, і 2 – екстремальні точки.

Х = 0 – це точка максимуму, бо похідна змінила знак з + на –

Х = 2 – це точка мінімуму, бо похідна змінила знак з – на +

5) Аналогічно, з поясненням, дослідіть  функцію на монотонність і екстремуми:

6) Зробіть аналіз графіків  похідної і вкажіть екстремальні точки і проміжки монотонності

Домашнє завдання

1) Оформити конспект

2) Дослідити на монотонність і екстремуми( з повним поясненням) графік  функції 

3) Пройти тест і надіслати його результат

4) Зробити повне дослідження двох графіків похідних ( аналогічно розглянутому прикладу)

Роботи надіслати до 10.05